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(反)双曲函数

总结一下同济大学《高等数学》(反)双曲函数部分的知识点。

双曲函数

函数定义

  • 双曲正弦:\(\displaystyle \sinh x=\frac{\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x}}{2}\)
  • 双曲余弦:\(\displaystyle \cosh x=\frac{\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}}{2}\)
  • 双曲正切:\(\displaystyle \tanh x=\frac{\sinh x}{\cosh x}=\frac{\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x}}{\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}}\)

函数图像

同济大学《高等数学》第七版上册书中给出的函数图像:

同济大学《高等数学》第七版上册给出的双曲正弦、双曲余弦与双曲正切的函数图像

恒等式

  • \(\displaystyle \cosh^{2}x-\sinh^{2}x=1\)

加法公式:

  • \(\displaystyle \sinh(x\pm y)=\sinh x\cosh y\pm \cosh x\sinh y\)
  • \(\displaystyle \cosh(x\pm y)=\cosh x\cosh y\pm \sinh x\sinh y\)

二倍角公式:

  • \(\displaystyle \sinh{2x}=2\sinh{x}\cosh{x}\)
  • \(\displaystyle \cosh{2x}=\cosh^{2}x+\sinh^{2}x\)

反双曲函数

函数定义

  • 反双曲正弦:\(\displaystyle \mathrm{arsinh\ }x=\ln(x+\sqrt{x^2+1})\)
  • 反双曲余弦:\(\displaystyle \mathrm{arcosh\ }x=\ln(x+\sqrt{x^2-1}),\ x\geq 1\)
  • 反双曲正切:\(\displaystyle \mathrm{artanh\ }x=\frac{1}{2}\ln\frac{1+x}{1-x},\ |x|<1\)

Bibliography

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