（反）三角函数

三角函数的知识点总结

弧度制

定义

单位弧度为圆弧长度等于半径时的圆心角。单位符号是“rad”(读作“弧度”)。“rad”常省略不写。

弧度制与角度制的互化：

$\displaystyle\unicode[Times]{x03C0}(\mathrm{rad})=180^\circ$
$\displaystyle1^\circ=\frac{\unicode[Times]{x03C0}}{180}(\mathrm{rad})\approx 0.0174533(\mathrm{rad})$
$\displaystyle 1(\mathrm{rad})=\frac{180^\circ}{\unicode[Times]{x03C0}}\approx 57.3^\circ=57^\circ 18^\prime$

三角函数

函数定义（使用单位圆定义）

三角函数的定义方法有很多，这里只给出其中一种。

正弦：$\displaystyle \sin\theta=y$

Sine

余弦：$\displaystyle \cos\theta=x$

Cosine

正切：$\displaystyle \tan\theta=\frac{y}{x}$

Tangent

余切：$\displaystyle \cot\theta=\frac{x}{y}$

Cotangent

正割：$\displaystyle \sec\theta=\frac{1}{x}$

Secant

余割：$\displaystyle \csc\theta=\frac{1}{y}$

Cosecant

计算

大角化小角：

利用角在圆上的周期性，将角度较大的三角函数转换成角度较小的三角函数。数学家们为大角化小角总结出了一堆诱导公式。但是我在维基百科上找到的下面这个方法感觉更方便记忆和使用：

先将三角函数转换为如下形式：

$\displaystyle \sin(\frac{k\unicode[Times]{x03C0}}{2}\pm\alpha),k\in\mathbb{Z}$
$\displaystyle \cos(\frac{k\unicode[Times]{x03C0}}{2}\pm\alpha),k\in\mathbb{Z}$
$\displaystyle \tan(\frac{k\unicode[Times]{x03C0}}{2}\pm\alpha),k\in\mathbb{Z}$
$\displaystyle \cot(\frac{k\unicode[Times]{x03C0}}{2}\pm\alpha),k\in\mathbb{Z}$
$\displaystyle \sec(\frac{k\unicode[Times]{x03C0}}{2}\pm\alpha),k\in\mathbb{Z}$
$\displaystyle \csc(\frac{k\unicode[Times]{x03C0}}{2}\pm\alpha),k\in\mathbb{Z}$

然后利用运算口诀“奇变偶不变，符号看象限”转化。

口诀的具体含义：当$k$为奇数时：

正弦变为余弦，余弦变为正弦；
正切变为余切，余切变为正切；
正割变为余割，余割变为正割。

而当$k$为偶数时，三角函数则不变换。对于正负号，假设$\alpha$为第一象限角，根据$\displaystyle \frac{\unicode[Times]{x03C0}}{2}\pm\alpha$所在象限的三角函数的符号确定，可以使用如下口诀：CAST，也可以使用ASTC (All Students Take Calculus) 用来记忆。

ASTC含义：

第一象限的 A 即是 All（全部皆正）。
第二象限的 S 即是 Sine & CoSecant（正弦以及余割为正）。
第三象限的 T 即是 Tangent & Cotangent（正切以及余切为正）。
第四象限的 C 即是 Cosine & SeCant（余弦以及正割为正）。

常用三角函数计算表：

$$
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\ & \displaystyle\frac{\unicode[Times]{x03C0}}{6}\left(30^\circ\right) & \displaystyle\frac{\unicode[Times]{x03C0}}{4}\left(45^\circ\right) & \displaystyle\frac{\unicode[Times]{x03C0}}{3}\left(60^\circ\right) \\
\hline
\sin & \displaystyle\frac{1}{2} & \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2} & \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \\
\hline
\cos & \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} & \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2} & \displaystyle\frac{1}{2} \\
\hline
\tan & \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3} & 1 & \displaystyle\sqrt{3} \\
\hline
\end{array}
$$