Personal nest in the information age

(反)三角函数

三角函数的知识点总结

弧度制

定义

单位弧度为圆弧长度等于半径时的圆心角。单位符号是“rad”(读作“弧度”)。“rad”常省略不写。

弧度制与角度制的互化:

  • \(\displaystyle\unicode[Times]{x03C0}(\mathrm{rad})=180^\circ\)
  • \(\displaystyle1^\circ=\frac{\unicode[Times]{x03C0}}{180}(\mathrm{rad})\approx 0.0174533(\mathrm{rad})\)
  • \(\displaystyle 1(\mathrm{rad})=\frac{180^\circ}{\unicode[Times]{x03C0}}\approx 57.3^\circ=57^\circ 18^\prime\)

三角函数

函数定义(使用单位圆定义)

三角函数的定义方法有很多,这里只给出其中一种。

  • 正弦:\(\displaystyle \sin\theta=y\)
  • 余弦:\(\displaystyle \cos\theta=x\)
  • 正切:\(\displaystyle \tan\theta=\frac{y}{x}\)
  • 余切:\(\displaystyle \cot\theta=\frac{x}{y}\)
  • 正割:\(\displaystyle \sec\theta=\frac{1}{x}\)
  • 余割:\(\displaystyle \csc\theta=\frac{1}{y}\)

相关公式

和三角函数有关的公式太多,这里只给出比较常用的。

毕达哥拉斯三角恒等式:

  • \(\displaystyle \sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1\)
  • \(\displaystyle \sec^{2}\alpha-\tan^{2}\alpha=1\)
  • \(\displaystyle \csc^{2}\alpha-\cot^{2}\alpha=1\)

角的和差公式:

  • \(\displaystyle \sin(\alpha\pm \beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta\)
  • \(\displaystyle \cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta\)

二倍角公式:

  • \(\displaystyle \sin2\alpha=2\cos\alpha\sin\alpha\)
  • \(\begin{align}\displaystyle \cos2\alpha &=\cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha \\ &=2\cos^{2}\alpha-1 \\ &=1-2\sin^{2}\alpha\end{align}\)

半角公式:

  • \(\displaystyle \sin^{2}\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{2}\)
  • \(\displaystyle \cos^{2}\frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos\alpha}{2}\)

积化和差公式:

和差化积公式:

  • \(\displaystyle \sin\alpha-\sin\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\)
  • \(\displaystyle \cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\)

辅助角公式:

$$a\sin\alpha+b\cos\alpha=\sqrt{a^2+b^2}\sin\left(\alpha+\arctan\frac{b}{a}\right)$$

相关定理

正弦定理:

$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$$

余弦定理:

$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$$

或:$$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$$

勾股定理是余弦定理的特例。

计算

大角化小角:

利用角在圆上的周期性,将角度较大的三角函数转换成角度较小的三角函数。数学家们为大角化小角总结出了一堆诱导公式。但是我在维基百科上找到的下面这个方法感觉更方便记忆和使用:

先将三角函数转换为如下形式:

  • \(\displaystyle \sin(\frac{k\unicode[Times]{x03C0}}{2}\pm\alpha),k\in\mathbb{Z}\)
  • \(\displaystyle \cos(\frac{k\unicode[Times]{x03C0}}{2}\pm\alpha),k\in\mathbb{Z}\)
  • \(\displaystyle \tan(\frac{k\unicode[Times]{x03C0}}{2}\pm\alpha),k\in\mathbb{Z}\)
  • \(\displaystyle \cot(\frac{k\unicode[Times]{x03C0}}{2}\pm\alpha),k\in\mathbb{Z}\)
  • \(\displaystyle \sec(\frac{k\unicode[Times]{x03C0}}{2}\pm\alpha),k\in\mathbb{Z}\)
  • \(\displaystyle \csc(\frac{k\unicode[Times]{x03C0}}{2}\pm\alpha),k\in\mathbb{Z}\)

然后利用运算口诀“奇变偶不变,符号看象限”转化。

口诀的具体含义:当\(k\)为奇数时:

正弦变为余弦,余弦变为正弦;
正切变为余切,余切变为正切;
正割变为余割,余割变为正割。

而当\(k\)为偶数时,三角函数则不变换。对于正负号,假设\(\alpha\)为第一象限角,根据\(\displaystyle \frac{\unicode[Times]{x03C0}}{2}\pm\alpha\)所在象限的三角函数的符号确定,可以使用如下口诀:CAST,也可以使用ASTC (All Students Take Calculus) 用来记忆。

ASTC含义:

  • 第一象限的 A 即是 All(全部皆正)。
  • 第二象限的 S 即是 Sine & CoSecant(正弦以及余割为正)。
  • 第三象限的 T 即是 Tangent & Cotangent(正切以及余切为正)。
  • 第四象限的 C 即是 Cosine & SeCant(余弦以及正割为正)。

常用三角函数计算表:

$$
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\ & \displaystyle\frac{\unicode[Times]{x03C0}}{6}\left(30^\circ\right) & \displaystyle\frac{\unicode[Times]{x03C0}}{4}\left(45^\circ\right) & \displaystyle\frac{\unicode[Times]{x03C0}}{3}\left(60^\circ\right) \\
\hline
\sin & \displaystyle\frac{1}{2} & \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2} & \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \\
\hline
\cos & \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} & \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2} & \displaystyle\frac{1}{2} \\
\hline
\tan & \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3} & 1 & \displaystyle\sqrt{3} \\
\hline
\end{array}
$$

反三角函数

Bibliography

Leave a comment

Your email address will not be published. Required fields are marked *