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高数上第一章第一节知识点总结(映射与函数)

映射(又称算子)

定义

设\(X\)、\(Y\)是两个非空集合,如果存在一个法则\(f\),使得对\(X\)中每个元素\(x\),按法则\(f\),在\(Y\)中有唯一确定的元素\(y\)与之对应,那么称\(f\)为从\(X\)到\(Y\)的映射,记作:$$f:X\rightarrow Y,$$其中\(y\)称为元素\(x\)(在映射\(f\)下)的,并记作\(f(x)\),即:$$y=f(x),$$而元素\(x\)称为元素\(y\)(在映射\(f\)下)的一个原像;集合\(X\)称为映射\(f\)的定义域,记作\(D_f\),即\(D_f=X\);\(X\)中所有元素的像所组成的集合称为映射\(f\)的值域,记作\(R_f\)或\(f(x)\),即:$$R_f=f(x)=\{f(x)|x\in X\}.$$

引申

  • 满射:若\(R_f=Y\),则称\(f\)为\(X\)到\(Y\)上的映射或满射。
  • 单射:若对\(X\)中任意两个元素\(x_1\neq x_2\),他们的像\(f(x_1)\neq f(x_2)\),则称\(f\)为\(X\)到\(Y\)的单射。
  • 一一映射(或双射):若映射\(f\)既是单射,又是满射,则称\(f\)为一一映射(或双射)。
  • 泛函:从非空集\(X\)到数集\(Y\)的映射称为\(X\)上的泛函。
  • 变换:从非空集\(X\)到其自身的映射称为\(X\)上的变换。
  • 函数:从实数集(或其子集)\(X\)到实数集\(Y\)的映射称为定义在\(X\)上的函数。
  • 逆映射
  • 复合函数

函数

相关名词

  • 自然定义域:函数的定义域是使得算式有意义的一切实数组成的集合,这种定义域称为函数的自然定义域。

函数示例

  • 绝对值函数:\(y=|x|\)
  • 符号函数:\(y=\mathrm{sgn\ }x\)
  • 取整函数(取小于等于\(x\)的最大整数):\(y=[x]\)
  • 分段函数:在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同式子来表示的函数。

函数的几种特征

有界性

设函数\(f(x)\)在数集\(X\)上有定义,则函数\(f(x)\)在\(X\)上有界的充要条件是它在\(X\)上既有上界又有下界。

单调性

  • 单调增加:当\(x_1, x_2\in D\),且\(x_1<x_2\),恒有\(f(x_1)<f(x_2)\)。
  • 单调减少:当\(x_1, x_2\in D\),且\(x_1<x_2\),恒有\(f(x_1)>f(x_2)\)。

奇偶性

前提:函数定义域关于原点对称。

  • 偶函数:\(f(-x)=f(x)\)
  • 奇函数:\(f(-x)=-f(x)\)
性质
  • 偶函数的图形关于\(y\)轴对称,奇函数的图形关于\(x\)轴对称。
  • 两个偶函数的和是偶函数,两个奇函数的和是奇函数。
  • 两个偶函数的乘积是偶函数,两个奇函数的乘积是偶函数,偶函数与奇函数的乘积是奇函数。
  • 设函数\(f(x)\)的定义域为\((-l,l)\),必存在\((-l,l)\)上的偶函数\(g(x)\)及奇函数\(h(x)\),使得:$$f(x)=g(x)+h(x).$$

周期性

定义

设函数\(f(x)\)的定义域为\(D\). 如果存在一个正数\(l\),使得对于任一\(x\in D\)有\((x\pm l)\in D\),且$$f(x\pm l)=f(x)$$恒成立,那么称\(f(x)\)为周期函数,\(l\)称为\(f(x)\)的周期,通常所说的周期指的是最小正周期

注意
  • 并非每个周期函数都有最小正周期,比如狄利克雷(Dirichlet)函数

反函数和复合函数

  • 对于反函数\(y=f^{-1}(x)\),原来的函数称为直接函数
  • 直接函数与反函数的图形关于直线\(y=x\)对称。

函数的运算

设函数\(f(x)\),\(g(x)\)的定义域依次为\(\require{AMSsymbols}D_f,D_g,D=D_f\cap D_g\neq\varnothing\),则:

  • 和(差):$$(f\pm g)(x)=f(x)\pm g(x), x\in D$$
  • :$$(f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x), x\in D$$
  • :$$\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}, x\in D\backslash\{x|g(x)=0, x\in D\}$$

初等函数

基本初等函数

  • 幂函数:\(y=x^{\mu}(\mu\in\mathbb{R}\text{是常数})\)
  • 指数函数:\(y=a^{x}(a>0\)且\(a\neq 1)\)
  • 对数函数:\(y=\log_{a}x(a>0\)且\(a\neq 1)\),特别当\(a=\mathrm{e}\)时,记为\(y=\ln x\);当\(a=10\)时,记为\(\lg x\)。
  • 三角函数
  • 反三角函数

在有些资料中,常数也被视为基本初等函数之一,称为常数函数[1]

初等函数

由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数

常用初等函数:(反)双曲函数

References

  1. 中文维基百科. 初等函数. 最后修订于2018年10月31日 (星期三) 06:28

Bibliography

  • 同济大学数学系 编. 《高等数学》第七版. 上册. 高等教育出版社. ISBN 978-7-04-039663-8

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