Personal nest in the information age

等差数列与等比数列

总结一下等差与等比数列的知识点。

数列的定义

按照某一法则,对每个\(n\in\mathbb{N}_{+}\),对应着一个确定的实数\(a_n\),这些实数\(a_n\)按照下标\(n\)从小到大排列得到的一个序列$$a_1, a_2, a_3, …, a_n, …$$就叫做数列,简记为数列\({a_n}\)。数列中的每一个数叫做数列的,第\(n\)项\(a_n\)叫做数列的一般项(或通项)。[1]

等差数列

定义

如果一个数列从第2项起,每一项与它前面一项的差都等于同一个常数\(d\),则称这个数列为等差数列,常数\(d\)称为公差

通项公式

$$a_n=a_1+(n-1)d\quad (n\in\mathbb{N}_{+})$$

推广

$$a_n=a_m+(n-m)d\quad (n,m\in\mathbb{N}_{+})$$

等差中项

若\(a, b, c\)成等差数列,则\(b\)叫做\(a\)与\(c\)的等差中项,且\(2b=a+c\)。

前\(n(n\in\mathbb{N}_{+})\)项和公式

$$\begin{align}S_n &=\frac{n(a_1+a_n)}{2} \\ &=na_1+\frac{1}{2}n(n-1)d\end{align}$$

其它性质

在等差数列中,若\(m+n=p+q\),则\(a_m+a_n=a_p+a_q\),此结论在多个项与多个项之间也成立,但等号两边的项数必须相同。

等比数列

定义

如果数列\({a_n}\)从第2项起,每一项与它前面一项的比都等于同一个不为零的常数\(q\),即$$\frac{a_n+1}{a_n}=q\quad (n\in\mathbb{N}_{+})$$则称数列\({a_n}\)为等比数列,常数\(q(q≠0)\)叫做公比

通项公式

$$a_n=a_{1}q^{n-1}\quad (n\in\mathbb{N}_{+})$$

推广

$$a_n=a_{m}q^{n-m}\quad (n, m\in\mathbb{N}_{+})$$

等比中项

若\(a,b,c\)成等比数列,则\(b\)叫做\(a\)与\(c\)的等比中项,且\(b^2=ac\)。

前\(n(n\in\mathbb{N}_{+})\)项和公式

$$S_n=\begin{cases}
na_1 & q=1 \\
\displaystyle\frac{a_1(1-q^n)}{1-q} & q\neq 1
\end{cases}
=\begin{cases}
na_1 & q=1 \\
\displaystyle\frac{a_1-a_nq}{1-q} & q\neq 1
\end{cases}$$

其它性质

在等比数列中,如果\(m+n=p+q\),则\(a_m\cdot a_n=a_p\cdot a_q\).

References

  1. 同济大学数学系 编. 《高等数学(第七版)》上册. 高等教育出版社. ISBN 978-7-04-039663-8

Leave a comment

Your email address will not be published. Required fields are marked *