\(\require{AMSsymbols}\)
数列极限的定义：
一般语言描述
设\({x_n}\)为一数列，如果存在常数a，对于任意给定的正数\(\epsilon\)（不论它多么小），总存在正整数N，使得当n>N时，不等式$$|x_n-a|<\epsilon$$都成立，那么就称常数a是数列\({x_n}\)的极限，或者称数列\({x_n}\)收敛于a，记为$$\displaystyle \lim\limits_{n \to\infty} x_n=a，$$或$$x_n \to a\ (n \to\infty).$$
形式化描述
$$\lim\limits_{n \to\infty} x_n=a := \forall\epsilon>0, \exists N\in\mathbb{N_+}, \forall n>N, |x_n-a|<\epsilon$$
用极限定义证明数列的极限
主要方法是通过对于任意给定的正数\(\epsilon\)，指出定义中所说的正整数N确实存在，或者找出一个符合定义要求的N. 但有时N不能直接解出，需要利用一些技巧将不等式放缩. 具体方法见相关课本.
相关注意点
- 由于\(\epsilon>0\)的任意给定性，定义中的\(|x_n-a|<\epsilon\)换为\(|x_n-a|<\mathrm{k}\epsilon(\mathrm{k}>0且为常数)\)、\(|x_n-a|<\frac{\epsilon}{M} (M是任意正整数)\)、\(|x_n-a|<\epsilon^2\)、\(|x_n-a|\leqslant\epsilon\)等，皆不影响定义的表达。
- 改变或增减数列\({x_n}\)的有限项，并不影响数列\({x_n}\)的收敛性。
其他相关定义
数列的有界性
对于数列\({x_n}\)，如果存在正数M，使得对于一切\(x_n\)都满足不等式$$|x_n|\leqslant M，$$那么称数列\({x_n}\)是有界的；如果这样的正数M不存在，就说数列\({x_n}\)是无界的.
子数列
设在数列\({x_n}\)中，第一次抽取\(x_{n_1}\)，第二次在\(x_{n_1}\)后抽取\(x_{n_2}\)，第三次在\(x_{n_2}\)后抽取\(x_{n_3}\)，……，这样无休止地抽取下去，得到一个数列$$x_{n_1}, x_{n_2}, …, x_{n_k},…,$$这个数列\({x_{n_k}}\)就是数列\({x_n}\)的一个子数列. 显然，\(n_k\geqslant k\).
收敛数列的性质
- 定理1（极限的唯一性）：如果数列\({x_n}\)收敛，那么它的极限唯一.
- 定理2（收敛数列的有界性）：如果数列\({x_n}\)收敛，那么数列\({x_n}\)一定有界.
- 数列有界是数列收敛的必要非充分条件.
- 定理3（收敛数列的保号性）：如果\(\lim\limits_{n \to\infty} x_n=a\)，且a>0（或a<0），那么存在正整数N，当n>N时，都有\(x_n>0\)（或\(x_n<0\)）.
- 推论：如果数列\({x_n}\)从某项起有\(x_n\geqslant 0\)（或\(x_n\leqslant 0\)），且\(\lim\limits_{n \to\infty} x_n=a\)，那么\(a\geqslant 0\)（或\(a\leqslant 0\)）.
- 定理4（收敛数列与其子数列间的关系）：如果数列\({x_n}\)收敛于a，那么它的任一子数列也收敛，且极限也是a.
- 一个发散的数列也可能有收敛的子数列.
利用定理4证明数列发散
可以根据定理4衍生出两种证明数列发散的方法：
- 找两个极限不相等的子数列；
- 找一个发散的子数列.
Bibliography
- 同济大学数学系 编. 《高等数学（第七版）》上册. 高等教育出版社. 第一章第二节. ISBN 978-7-04-039663-8
- 张天德 主编. 《高等数学辅导 同济七版（上册）》. 北京理工大学出版社. 第一章第二节. ISBN 978-7-5682-0058-5
- 维基百科. 极限 (数列). 页面最后修订于2019年8月23日 (星期五) 07:17