\(\require{AMSsymbols}\)
数列极限的定义:
一般语言描述
设\({x_n}\)为一数列,如果存在常数a,对于任意给定的正数\(\epsilon\)(不论它多么小),总存在正整数N,使得当n>N时,不等式$$|x_n-a|<\epsilon$$都成立,那么就称常数a是数列\({x_n}\)的极限,或者称数列\({x_n}\)收敛于a,记为$$\displaystyle \lim\limits_{n \to\infty} x_n=a,$$或$$x_n \to a\ (n \to\infty).$$
形式化描述
$$\lim\limits_{n \to\infty} x_n=a := \forall\epsilon>0, \exists N\in\mathbb{N_+}, \forall n>N, |x_n-a|<\epsilon$$
用极限定义证明数列的极限
主要方法是通过对于任意给定的正数\(\epsilon\),指出定义中所说的正整数N确实存在,或者找出一个符合定义要求的N. 但有时N不能直接解出,需要利用一些技巧将不等式放缩. 具体方法见相关课本.
相关注意点
- 由于\(\epsilon>0\)的任意给定性,定义中的\(|x_n-a|<\epsilon\)换为\(|x_n-a|<\mathrm{k}\epsilon(\mathrm{k}>0且为常数)\)、\(|x_n-a|<\frac{\epsilon}{M} (M是任意正整数)\)、\(|x_n-a|<\epsilon^2\)、\(|x_n-a|\leqslant\epsilon\)等,皆不影响定义的表达。
- 改变或增减数列\({x_n}\)的有限项,并不影响数列\({x_n}\)的收敛性。
其他相关定义
数列的有界性
对于数列\({x_n}\),如果存在正数M,使得对于一切\(x_n\)都满足不等式$$|x_n|\leqslant M,$$那么称数列\({x_n}\)是有界的;如果这样的正数M不存在,就说数列\({x_n}\)是无界的.
子数列
设在数列\({x_n}\)中,第一次抽取\(x_{n_1}\),第二次在\(x_{n_1}\)后抽取\(x_{n_2}\),第三次在\(x_{n_2}\)后抽取\(x_{n_3}\),……,这样无休止地抽取下去,得到一个数列$$x_{n_1}, x_{n_2}, …, x_{n_k},…,$$这个数列\({x_{n_k}}\)就是数列\({x_n}\)的一个子数列. 显然,\(n_k\geqslant k\).
收敛数列的性质
- 定理1(极限的唯一性):如果数列\({x_n}\)收敛,那么它的极限唯一.
- 定理2(收敛数列的有界性):如果数列\({x_n}\)收敛,那么数列\({x_n}\)一定有界.
- 数列有界是数列收敛的必要非充分条件.
- 定理3(收敛数列的保号性):如果\(\lim\limits_{n \to\infty} x_n=a\),且a>0(或a<0),那么存在正整数N,当n>N时,都有\(x_n>0\)(或\(x_n<0\)).
- 推论:如果数列\({x_n}\)从某项起有\(x_n\geqslant 0\)(或\(x_n\leqslant 0\)),且\(\lim\limits_{n \to\infty} x_n=a\),那么\(a\geqslant 0\)(或\(a\leqslant 0\)).
- 定理4(收敛数列与其子数列间的关系):如果数列\({x_n}\)收敛于a,那么它的任一子数列也收敛,且极限也是a.
- 一个发散的数列也可能有收敛的子数列.
利用定理4证明数列发散
可以根据定理4衍生出两种证明数列发散的方法:
- 找两个极限不相等的子数列;
- 找一个发散的子数列.
Bibliography
- 同济大学数学系 编. 《高等数学(第七版)》上册. 高等教育出版社. 第一章第二节. ISBN 978-7-04-039663-8
- 张天德 主编. 《高等数学辅导 同济七版(上册)》. 北京理工大学出版社. 第一章第二节. ISBN 978-7-5682-0058-5
- 维基百科. 极限 (数列). 页面最后修订于2019年8月23日 (星期五) 07:17