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高数知识点总结:数列的极限

\(\require{AMSsymbols}\)

数列极限的定义:

一般语言描述

设\({x_n}\)为一数列,如果存在常数a,对于任意给定的正数\(\epsilon\)(不论它多么小),总存在正整数N,使得当n>N时,不等式$$|x_n-a|<\epsilon$$都成立,那么就称常数a是数列\({x_n}\)的极限,或者称数列\({x_n}\)收敛于a,记为$$\displaystyle \lim\limits_{n \to\infty} x_n=a,$$或$$x_n \to a\ (n \to\infty).$$

形式化描述

$$\lim\limits_{n \to\infty} x_n=a := \forall\epsilon>0, \exists N\in\mathbb{N_+}, \forall n>N, |x_n-a|<\epsilon$$

用极限定义证明数列的极限

主要方法是通过对于任意给定的正数\(\epsilon\),指出定义中所说的正整数N确实存在,或者找出一个符合定义要求的N. 但有时N不能直接解出,需要利用一些技巧将不等式放缩. 具体方法见相关课本.

相关注意点

  • 由于\(\epsilon>0\)的任意给定性,定义中的\(|x_n-a|<\epsilon\)换为\(|x_n-a|<\mathrm{k}\epsilon(\mathrm{k}>0且为常数)\)、\(|x_n-a|<\frac{\epsilon}{M} (M是任意正整数)\)、\(|x_n-a|<\epsilon^2\)、\(|x_n-a|\leqslant\epsilon\)等,皆不影响定义的表达。
  • 改变或增减数列\({x_n}\)的有限项,并不影响数列\({x_n}\)的收敛性。

其他相关定义

数列的有界性

对于数列\({x_n}\),如果存在正数M,使得对于一切\(x_n\)都满足不等式$$|x_n|\leqslant M,$$那么称数列\({x_n}\)是有界的;如果这样的正数M不存在,就说数列\({x_n}\)是无界的.

子数列

设在数列\({x_n}\)中,第一次抽取\(x_{n_1}\),第二次在\(x_{n_1}\)后抽取\(x_{n_2}\),第三次在\(x_{n_2}\)后抽取\(x_{n_3}\),……,这样无休止地抽取下去,得到一个数列$$x_{n_1}, x_{n_2}, …, x_{n_k},…,$$这个数列\({x_{n_k}}\)就是数列\({x_n}\)的一个子数列. 显然,\(n_k\geqslant k\).

收敛数列的性质

  • 定理1(极限的唯一性):如果数列\({x_n}\)收敛,那么它的极限唯一.
  • 定理2(收敛数列的有界性):如果数列\({x_n}\)收敛,那么数列\({x_n}\)一定有界.
    • 数列有界是数列收敛的必要非充分条件.
  • 定理3(收敛数列的保号性):如果\(\lim\limits_{n \to\infty} x_n=a\),且a>0(或a<0),那么存在正整数N,当n>N时,都有\(x_n>0\)(或\(x_n<0\)).
    • 推论:如果数列\({x_n}\)从某项起有\(x_n\geqslant 0\)(或\(x_n\leqslant 0\)),且\(\lim\limits_{n \to\infty} x_n=a\),那么\(a\geqslant 0\)(或\(a\leqslant 0\)).
  • 定理4(收敛数列与其子数列间的关系):如果数列\({x_n}\)收敛于a,那么它的任一子数列也收敛,且极限也是a.
    • 一个发散的数列也可能有收敛的子数列.

利用定理4证明数列发散

可以根据定理4衍生出两种证明数列发散的方法:

  1. 找两个极限不相等的子数列;
  2. 找一个发散的子数列.

Bibliography

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