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总结一下等差与等比数列的知识点。 数列的定义 按照某一法则,对每个,对应着一个确定的实数,这些实数按照下标从小到大排列得到的一个序列$$a_1, a_2, a_3, …, a_n, …$$就叫做数列,简记为数列。数列中的每一个数叫做数列的项,第项叫做数列的一般项(或通项)。[1] 等差数列 定义 如果一个数列从第2项起,每一项与它前面一项的差都等于同一个常数,则称这个数列为等差数列,常数称为公差。 通项公式 $$a_n=a_1+(n-1)d\quad (n\in\mathbb{N}_{+})$$ 推广 $$a_n=a_m+(n-m)d\quad (n,m\in\mathbb{N}_{+})$$ 等差中项 若成等差数列,则叫做与的等差中项,且。 前项和公式 $$\begin{align}S_n &=\frac{n(a_1+a_n)}{2} \\ &=na_1+\frac{1}{2}n(n-1)d\end{align}$$ 其它性质 在等差数列中,若,则,此结论在多个项与多个项之间也成立,但等号两边的项数必须相同。 等比数列 定义 如果数列从第2项起,每一项与它前面一项的比都等于同一个不为零的常数,即$$\frac{a_n+1}{a_n}=q\quad (n\in\mathbb{N}_{+})$$则称数列为等比数列,常数叫做公比。 通项公式 $$a_n=a_{1}q^{n-1}\quad (n\in\mathbb{N}_{+})$$ 推广 $$a_n=a_{m}q^{n-m}\quad (n, m\in\mathbb{N}_{+})$$ 等比中项 若成等比数列,则叫做与的等比中项,且。 前项和公式 其它性质 在等比数列中,如果,则. References 同济大学数学系 编. 《高等数学(第七版)》上册. 高等教育出版社. ISBN 978-7-04-039663-8

等差数列与等比数列


映射(又称算子) 定义 设、是两个非空集合,如果存在一个法则,使得对中每个元素,按法则,在中有唯一确定的元素与之对应,那么称为从到的映射,记作:$$f:X\rightarrow Y,$$其中称为元素(在映射下)的像,并记作,即:$$y=f(x),$$而元素称为元素(在映射下)的一个原像;集合称为映射的定义域,记作,即;中所有元素的像所组成的集合称为映射的值域,记作或,即:$$R_f=f(x)=\{f(x)|x\in X\}.$$ 引申 满射:若,则称为到上的映射或满射。 单射:若对中任意两个元素,他们的像,则称为到的单射。 一一映射(或双射):若映射既是单射,又是满射,则称为一一映射(或双射)。 泛函:从非空集到数集的映射称为上的泛函。 变换:从非空集到其自身的映射称为上的变换。 函数:从实数集(或其子集)到实数集的映射称为定义在上的函数。 逆映射 复合函数 函数 相关名词 自然定义域:函数的定义域是使得算式有意义的一切实数组成的集合,这种定义域称为函数的自然定义域。 函数示例 绝对值函数: 符号函数: 取整函数(取小于等于的最大整数): 分段函数 函数的几种特征 有界性 设函数在数集上有定义,则函数在上有界的充要条件是它在上既有上界又有下界。 单调性 单调增加:当,且,恒有。 单调减少:当,且,恒有。 奇偶性 前提:函数定义域关于原点对称。 偶函数: 奇函数: 性质 偶函数的图形关于轴对称,奇函数的图形关于轴对称。 两个偶函数的和是偶函数,两个奇函数的和是奇函数。 两个偶函数的乘积是偶函数,两个奇函数的乘积是偶函数,偶函数与奇函数的乘积是奇函数。 设函数的定义域为,必存在上的偶函数及奇函数,使得:$$f(x)=g(x)+h(x).$$ 周期性 定义 设函数的定义域为. 如果存在一个正数,使得对于任一有,且$$f(x\pm l)=f(x)$$恒成立,那么称为周期函数,称为的周期,通常所说的周期指的是最小正周期。 注意 并非每个周期函数都有最小正周期,比如狄利克雷(Dirichlet)函数。 反函数和复合函数 对于反函数,原来的函数称为直接函数。 直接函数与反函数的图形关于直线对称。 函数的运算 设函数,的定义域依次为,则: 和(差):$$(f\pm […]

高数上第一章第一节知识点总结(映射与函数)


三角函数的知识点总结 弧度制 定义 单位弧度为圆弧长度等于半径时的圆心角。单位符号是“rad”(读作“弧度”)。“rad”常省略不写。 弧度制与角度制的互化: 三角函数 函数定义(使用单位圆定义) 三角函数的定义方法有很多,这里只给出其中一种。 正弦: 余弦: 正切: 余切: 正割: 余割: 相关公式 和三角函数有关的公式太多,这里只给出比较常用的。 毕达哥拉斯三角恒等式: 角的和差公式: 二倍角公式: 半角公式: 积化和差公式: 和差化积公式: 辅助角公式: $$a\sin\alpha+b\cos\alpha=\sqrt{a^2+b^2}\sin\left(\alpha+\arctan\frac{b}{a}\right)$$ 相关定理 正弦定理: $$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$$ 余弦定理: $$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$$ 或:$$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$$ 勾股定理是余弦定理的特例。 计算 大角化小角: 利用角在圆上的周期性,将角度较大的三角函数转换成角度较小的三角函数。数学家们为大角化小角总结出了一堆诱导公式。但是我在维基百科上找到的下面这个方法感觉更方便记忆和使用: 先将三角函数转换为如下形式: 然后利用运算口诀“奇变偶不变,符号看象限”转化。 口诀的具体含义:当为奇数时: 正弦变为余弦,余弦变为正弦;正切变为余切,余切变为正切;正割变为余割,余割变为正割。 而当为偶数时,三角函数则不变换。对于正负号,假设为第一象限角,根据所在象限的三角函数的符号确定,可以使用如下口诀:CAST,也可以使用ASTC (All Students Take Calculus) 用来记忆。 ASTC含义: […]

(反)三角函数



总结一下同济大学《高等数学》(反)双曲函数部分的知识点。 双曲函数 函数定义 双曲正弦: 双曲余弦: 双曲正切: 函数图像 同济大学《高等数学》第七版上册书中给出的函数图像: 恒等式 加法公式: 二倍角公式: 反双曲函数 函数定义 反双曲正弦: 反双曲余弦: 反双曲正切: Bibliography 同济大学数学系 编. 《高等数学》第七版. 上册. 高等教育出版社. ISBN 978-7-04-039663-8 中文维基百科. 双曲函数. 最后修订于2019年7月25日 (星期四) 08:44

(反)双曲函数


一元二次方程的求根公式: 对于\(ax^2+bx+c=0\hspace{3mm}(a\neq 0)\),它的根:$$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$ 实系数一元二次方程根的判别式: $$\Delta = b^2-4ac$$ 当,方程有两个不相等的实数根; 当,方程有两个相等的实数根,根的值:$$x=-\frac{b}{2a}$$ 当\(\Delta <0\),方程有一对共轭复根。 根与系数的关系: $$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$$ $$x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}$$ 上面的两个公式是韦达定理在\(n=2\)时的特例。在这种情况下,韦达定理的逆定理也成立:当\(x_1\)、\(x_2\)满足上面两式的关系时,则\(x_1\)、\(x_2\)是对应一元二次方程的根。 其它: 在二次函数中,常数项表示函数图像与y轴的交点的纵坐标。 Bibliography 中文维基百科. 一元二次方程. 最后修订于2019年6月7日 (星期五) 07:56 中文维基百科. 韦达定理. 最后修订于2019年7月24日 (星期三) 09:01

一元二次方程的一些性质