高等数学


映射(又称算子) 定义 设、是两个非空集合,如果存在一个法则,使得对中每个元素,按法则,在中有唯一确定的元素与之对应,那么称为从到的映射,记作:$$f:X\rightarrow Y,$$其中称为元素(在映射下)的像,并记作,即:$$y=f(x),$$而元素称为元素(在映射下)的一个原像;集合称为映射的定义域,记作,即;中所有元素的像所组成的集合称为映射的值域,记作或,即:$$R_f=f(x)=\{f(x)|x\in X\}.$$ 引申 满射:若,则称为到上的映射或满射。 单射:若对中任意两个元素,他们的像,则称为到的单射。 一一映射(或双射):若映射既是单射,又是满射,则称为一一映射(或双射)。 泛函:从非空集到数集的映射称为上的泛函。 变换:从非空集到其自身的映射称为上的变换。 函数:从实数集(或其子集)到实数集的映射称为定义在上的函数。 逆映射 复合函数 函数 相关名词 自然定义域:函数的定义域是使得算式有意义的一切实数组成的集合,这种定义域称为函数的自然定义域。 函数示例 绝对值函数: 符号函数: 取整函数(取小于等于的最大整数): 分段函数 函数的几种特征 有界性 设函数在数集上有定义,则函数在上有界的充要条件是它在上既有上界又有下界。 单调性 单调增加:当,且,恒有。 单调减少:当,且,恒有。 奇偶性 前提:函数定义域关于原点对称。 偶函数: 奇函数: 性质 偶函数的图形关于轴对称,奇函数的图形关于轴对称。 两个偶函数的和是偶函数,两个奇函数的和是奇函数。 两个偶函数的乘积是偶函数,两个奇函数的乘积是偶函数,偶函数与奇函数的乘积是奇函数。 设函数的定义域为,必存在上的偶函数及奇函数,使得:$$f(x)=g(x)+h(x).$$ 周期性 定义 设函数的定义域为. 如果存在一个正数,使得对于任一有,且$$f(x\pm l)=f(x)$$恒成立,那么称为周期函数,称为的周期,通常所说的周期指的是最小正周期。 注意 并非每个周期函数都有最小正周期,比如狄利克雷(Dirichlet)函数。 反函数和复合函数 对于反函数,原来的函数称为直接函数。 直接函数与反函数的图形关于直线对称。 函数的运算 设函数,的定义域依次为,则: 和(差):$$(f\pm […]

高数上第一章第一节知识点总结(映射与函数)