高等数学

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高数知识点总结:数列的极限

数列极限的定义: 一般语言描述 设为一数列,如果存在常数a,对于任意给定的正数(不论它多么小),总存在正整数N,使得当n>N时,不等式$$|x_n-a|<\epsilon$$都成立,那么就称常数a是数列的极限,或者称数列收敛于a,记为$$\displaystyle \lim\limits_{n \to\infty} x_n=a,$$或$$x_n \to a\ (n \to\infty).$$ 形式化描述 $$\lim\limits_{n \to\infty} x_n=a := \forall\epsilon>0, \exists N\in\mathbb{N_+}, \forall n>N, |x_n-a|<\epsilon$$ 用极限定义证明数列的极限 主要方法是通过对于任意给定的正数,指出定义中所说的正整数N确实存在,或者找出一个符合定义要求的N. 但有时N不能直接解出,需要利用一些技巧将不等式放缩. 具体方法见相关课本. 相关注意点 由于的任意给定性,定义中的换为、、、等,皆不影响定义的表达。 改变或增减数列的有限项,并不影响数列的收敛性。 其他相关定义 数列的有界性 对于数列,如果存在正数M,使得对于一切都满足不等式$$|x_n|\leqslant M,$$那么称数列是有界的;如果这样的正数M不存在,就说数列是无界的. 子数列 设在数列中,第一次抽取,第二次在后抽取,第三次在后抽取,……,这样无休止地抽取下去,得到一个数列$$x_{n_1}, x_{n_2}, …, x_{n_k},…,$$这个数列就是数列的一个子数列. 显然,. 收敛数列的性质 定理1(极限的唯一性):如果数列收敛,那么它的极限唯一. 定理2(收敛数列的有界性):如果数列收敛,那么数列一定有界. 数列有界是数列收敛的必要非充分条件. 定理3(收敛数列的保号性):如果,且a>0(或a<0),那么存在正整数N,当n>N时,都有(或). 推论:如果数列从某项起有(或),且,那么(或). 定理4(收敛数列与其子数列间的关系):如果数列收敛于a,那么它的任一子数列也收敛,且极限也是a. 一个发散的数列也可能有收敛的子数列. 利用定理4证明数列发散 可以根据定理4衍生出两种证明数列发散的方法: 找两个极限不相等的子数列; 找一个发散的子数列. […]

高数上第一章第一节知识点总结(映射与函数)

映射(又称算子) 定义 设、是两个非空集合,如果存在一个法则,使得对中每个元素,按法则,在中有唯一确定的元素与之对应,那么称为从到的映射,记作:$$f:X\rightarrow Y,$$其中称为元素(在映射下)的像,并记作,即:$$y=f(x),$$而元素称为元素(在映射下)的一个原像;集合称为映射的定义域,记作,即;中所有元素的像所组成的集合称为映射的值域,记作或,即:$$R_f=f(x)=\{f(x)|x\in X\}.$$ 引申 满射:若,则称为到上的映射或满射。 单射:若对中任意两个元素,他们的像,则称为到的单射。 一一映射(或双射):若映射既是单射,又是满射,则称为一一映射(或双射)。 泛函:从非空集到数集的映射称为上的泛函。 变换:从非空集到其自身的映射称为上的变换。 函数:从实数集(或其子集)到实数集的映射称为定义在上的函数。 逆映射 复合函数 函数 相关名词 自然定义域:函数的定义域是使得算式有意义的一切实数组成的集合,这种定义域称为函数的自然定义域。 函数示例 绝对值函数: 符号函数: 取整函数(取小于等于的最大整数): 分段函数:在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同式子来表示的函数。 函数的几种特征 有界性 设函数在数集上有定义,则函数在上有界的充要条件是它在上既有上界又有下界。 单调性 单调增加:当,且,恒有。 单调减少:当,且,恒有。 奇偶性 前提:函数定义域关于原点对称。 偶函数: 奇函数: 性质 偶函数的图形关于轴对称,奇函数的图形关于轴对称。 两个偶函数的和是偶函数,两个奇函数的和是奇函数。 两个偶函数的乘积是偶函数,两个奇函数的乘积是偶函数,偶函数与奇函数的乘积是奇函数。 设函数的定义域为,必存在上的偶函数及奇函数,使得:$$f(x)=g(x)+h(x).$$ 周期性 定义 设函数的定义域为. 如果存在一个正数,使得对于任一有,且$$f(x\pm l)=f(x)$$恒成立,那么称为周期函数,称为的周期,通常所说的周期指的是最小正周期。 注意 并非每个周期函数都有最小正周期,比如狄利克雷(Dirichlet)函数。 反函数和复合函数 对于反函数,原来的函数称为直接函数。 直接函数与反函数的图形关于直线对称。 函数的运算 设函数,的定义域依次为,则: 和(差):$$(f\pm […]