Limit

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高数知识点总结:数列的极限

数列极限的定义: 一般语言描述 设为一数列,如果存在常数a,对于任意给定的正数(不论它多么小),总存在正整数N,使得当n>N时,不等式$$|x_n-a|<\epsilon$$都成立,那么就称常数a是数列的极限,或者称数列收敛于a,记为$$\displaystyle \lim\limits_{n \to\infty} x_n=a,$$或$$x_n \to a\ (n \to\infty).$$ 形式化描述 $$\lim\limits_{n \to\infty} x_n=a := \forall\epsilon>0, \exists N\in\mathbb{N_+}, \forall n>N, |x_n-a|<\epsilon$$ 用极限定义证明数列的极限 主要方法是通过对于任意给定的正数,指出定义中所说的正整数N确实存在,或者找出一个符合定义要求的N. 但有时N不能直接解出,需要利用一些技巧将不等式放缩. 具体方法见相关课本. 相关注意点 由于的任意给定性,定义中的换为、、、等,皆不影响定义的表达。 改变或增减数列的有限项,并不影响数列的收敛性。 其他相关定义 数列的有界性 对于数列,如果存在正数M,使得对于一切都满足不等式$$|x_n|\leqslant M,$$那么称数列是有界的;如果这样的正数M不存在,就说数列是无界的. 子数列 设在数列中,第一次抽取,第二次在后抽取,第三次在后抽取,……,这样无休止地抽取下去,得到一个数列$$x_{n_1}, x_{n_2}, …, x_{n_k},…,$$这个数列就是数列的一个子数列. 显然,. 收敛数列的性质 定理1(极限的唯一性):如果数列收敛,那么它的极限唯一. 定理2(收敛数列的有界性):如果数列收敛,那么数列一定有界. 数列有界是数列收敛的必要非充分条件. 定理3(收敛数列的保号性):如果,且a>0(或a<0),那么存在正整数N,当n>N时,都有(或). 推论:如果数列从某项起有(或),且,那么(或). 定理4(收敛数列与其子数列间的关系):如果数列收敛于a,那么它的任一子数列也收敛,且极限也是a. 一个发散的数列也可能有收敛的子数列. 利用定理4证明数列发散 可以根据定理4衍生出两种证明数列发散的方法: 找两个极限不相等的子数列; 找一个发散的子数列. […]