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概率论与数理统计知识点总结:随机事件与概率

随机事件 相关名词的定义 统计规律性:在大量重复试验或观察中所呈现出的固有规律性,称为统计规律性. 随机现象:在个别试验中其结果呈现不确定性,在大量重复试验中其结果又具有统计规律性的现象,称为随机现象. 随机试验:在概率论中将具备下列三个条件的试验称为随机试验(random experiment),简称试验,一般用符号E表示: 在相同条件下可重复进行; 每次试验的结果具有多种可能性; 在每次试验之前不能准确预言该次试验将出现何种结果,但是所有结果明确可知。 样本点与样本空间:随机试验E的每一个可能结果称为样本点,E的全体样本点的集合称为E的样本空间(sample space),常用符号或S表示。 随机事件:一般,我们称试验E的样本空间S的子集为E的随机事件,简称事件,常用符号A,B,C,D表示。在每次试验中,当且仅当这一子集中的一个样本点出现时,称这一事件发生。 “严格地说,事件是指S中的满足某些条件的子集。当S是由有限个元素或由可列无限个元素组成时,每个子集都可作为一个事件。若S是由不可列无限个元素组成时,某些子集必须排除在外。” 事件域:一个样本空间中某些子集组成的集合类,常用F表示。 基本事件:不能分解为其他事件组合的最简单的随机事件。 必然事件:每次试验中一定发生的事件,常用符号或S表示。 不可能事件:每次试验中一定不发生的事件,常用表示。 事件的关系和运算 事件的关系和运算本质上集合的关系和运算。 事件的关系 包含(inclusion):A发生必然导致B发生,则称B包含A(或A包含于B),记为(或)。显然对任何事件A,。 相等(equal):若且,则称A与B相等,记为A=B。 互不相容(互斥)(mutually exclusive):若,则称事件A与B是互不相容的,或互斥的。 对立(逆)(complementary):若且,则称事件A与事件B互为逆事件。又称事件A与事件B互为对立事件。A的对立事件记为,。 事件的运算 事件的和(并)(union):事件称为事件A与事件B的和事件。也可记为。 事件的积(intersection):事件称为事件A与事件B的积事件。也记作AB. 事件的差(difference):事件称为事件A与事件B的差事件。A–B也可记作A\B. . 事件的运算律 交换律:,AB=BA. 结合律:,(AB)C=A(BC). 分配律:,. 德摩根律:,. 其他常用运算公式 概率 相关定义及其性质 频率的定义及其基本性质 定义: 在相同的条件下,进行了n次试验,在这n次试验中,事件A发生的次数称为事件A发生的频数。比值称为事件A发生的频率,并记成. 基本性质: ; ; 若是两两互不相容的事件,则$$f_n(\bigcup\limits_{i=1}^{k} A_i)=\sum_{i=1}^{k}f_n(A_i).$$ 概率的定义及其基本性质 概率的统计定义: 在相同的条件下,重复进行n次试验,事件A发生的频率稳定地在某一常数p附近摆动。且一般说来,n越大,摆动幅度越小,则称常数p为事件A的概率,记作P(A). 概率的公理化定义: […]

高数知识点总结:数列的极限

数列极限的定义: 一般语言描述 设为一数列,如果存在常数a,对于任意给定的正数(不论它多么小),总存在正整数N,使得当n>N时,不等式$$|x_n-a|<\epsilon$$都成立,那么就称常数a是数列的极限,或者称数列收敛于a,记为$$\displaystyle \lim\limits_{n \to\infty} x_n=a,$$或$$x_n \to a\ (n \to\infty).$$ 形式化描述 $$\lim\limits_{n \to\infty} x_n=a := \forall\epsilon>0, \exists N\in\mathbb{N_+}, \forall n>N, |x_n-a|<\epsilon$$ 用极限定义证明数列的极限 主要方法是通过对于任意给定的正数,指出定义中所说的正整数N确实存在,或者找出一个符合定义要求的N. 但有时N不能直接解出,需要利用一些技巧将不等式放缩. 具体方法见相关课本. 相关注意点 由于的任意给定性,定义中的换为、、、等,皆不影响定义的表达。 改变或增减数列的有限项,并不影响数列的收敛性。 其他相关定义 数列的有界性 对于数列,如果存在正数M,使得对于一切都满足不等式$$|x_n|\leqslant M,$$那么称数列是有界的;如果这样的正数M不存在,就说数列是无界的. 子数列 设在数列中,第一次抽取,第二次在后抽取,第三次在后抽取,……,这样无休止地抽取下去,得到一个数列$$x_{n_1}, x_{n_2}, …, x_{n_k},…,$$这个数列就是数列的一个子数列. 显然,. 收敛数列的性质 定理1(极限的唯一性):如果数列收敛,那么它的极限唯一. 定理2(收敛数列的有界性):如果数列收敛,那么数列一定有界. 数列有界是数列收敛的必要非充分条件. 定理3(收敛数列的保号性):如果,且a>0(或a<0),那么存在正整数N,当n>N时,都有(或). 推论:如果数列从某项起有(或),且,那么(或). 定理4(收敛数列与其子数列间的关系):如果数列收敛于a,那么它的任一子数列也收敛,且极限也是a. 一个发散的数列也可能有收敛的子数列. 利用定理4证明数列发散 可以根据定理4衍生出两种证明数列发散的方法: 找两个极限不相等的子数列; 找一个发散的子数列. […]

等差数列与等比数列

总结一下等差与等比数列的知识点。 数列的定义 按照某一法则,对每个,对应着一个确定的实数,这些实数按照下标从小到大排列得到的一个序列$$a_1, a_2, a_3, …, a_n, …$$就叫做数列,简记为数列。数列中的每一个数叫做数列的项,第项叫做数列的一般项(或通项)。[1] 等差数列 定义 如果一个数列从第2项起,每一项与它前面一项的差都等于同一个常数,则称这个数列为等差数列,常数称为公差。 通项公式 $$a_n=a_1+(n-1)d\quad (n\in\mathbb{N}_{+})$$ 推广 $$a_n=a_m+(n-m)d\quad (n,m\in\mathbb{N}_{+})$$ 等差中项 若成等差数列,则叫做与的等差中项,且。 前项和公式 $$\begin{align}S_n &=\frac{n(a_1+a_n)}{2} \\ &=na_1+\frac{1}{2}n(n-1)d\end{align}$$ 其它性质 在等差数列中,若,则,此结论在多个项与多个项之间也成立,但等号两边的项数必须相同。 等比数列 定义 如果数列从第2项起,每一项与它前面一项的比都等于同一个不为零的常数,即$$\frac{a_n+1}{a_n}=q\quad (n\in\mathbb{N}_{+})$$则称数列为等比数列,常数叫做公比。 通项公式 $$a_n=a_{1}q^{n-1}\quad (n\in\mathbb{N}_{+})$$ 推广 $$a_n=a_{m}q^{n-m}\quad (n, m\in\mathbb{N}_{+})$$ 等比中项 若成等比数列,则叫做与的等比中项,且。 前项和公式 其它性质 在等比数列中,如果,则. References 同济大学数学系 编. 《高等数学(第七版)》上册. 高等教育出版社. ISBN 978-7-04-039663-8

(反)三角函数

三角函数的知识点总结 弧度制 定义 单位弧度为圆弧长度等于半径时的圆心角。单位符号是“rad”(读作“弧度”)。“rad”常省略不写。 弧度制与角度制的互化: 三角函数 函数定义(使用单位圆定义) 三角函数的定义方法有很多,这里只给出其中一种。 正弦: 余弦: 正切: 余切: 正割: 余割: 相关公式 和三角函数有关的公式太多,这里只给出比较常用的。 毕达哥拉斯三角恒等式: 角的和差公式: 二倍角公式: 半角公式: 积化和差公式: 和差化积公式: 辅助角公式: $$a\sin\alpha+b\cos\alpha=\sqrt{a^2+b^2}\sin\left(\alpha+\arctan\frac{b}{a}\right)$$ 相关定理 正弦定理: $$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$$ 余弦定理: $$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$$ 或:$$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$$ 勾股定理是余弦定理的特例。 计算 大角化小角: 利用角在圆上的周期性,将角度较大的三角函数转换成角度较小的三角函数。数学家们为大角化小角总结出了一堆诱导公式。但是我在维基百科上找到的下面这个方法感觉更方便记忆和使用: 先将三角函数转换为如下形式: 然后利用运算口诀“奇变偶不变,符号看象限”转化。 口诀的具体含义:当为奇数时: 正弦变为余弦,余弦变为正弦;正切变为余切,余切变为正切;正割变为余割,余割变为正割。 而当为偶数时,三角函数则不变换。对于正负号,假设为第一象限角,根据所在象限的三角函数的符号确定,可以使用如下口诀:CAST,也可以使用ASTC (All Students Take Calculus) 用来记忆。 ASTC含义: […]

(反)双曲函数

总结一下同济大学《高等数学》(反)双曲函数部分的知识点。 双曲函数 函数定义 双曲正弦: 双曲余弦: 双曲正切: 函数图像 同济大学《高等数学》第七版上册书中给出的函数图像: 恒等式 加法公式: 二倍角公式: 反双曲函数 函数定义 反双曲正弦: 反双曲余弦: 反双曲正切: Bibliography 同济大学数学系 编. 《高等数学》第七版. 上册. 高等教育出版社. ISBN 978-7-04-039663-8 中文维基百科. 双曲函数. 最后修订于2019年7月25日 (星期四) 08:44