Sequence

2 posts

高数知识点总结:数列的极限

数列极限的定义: 一般语言描述 设为一数列,如果存在常数a,对于任意给定的正数(不论它多么小),总存在正整数N,使得当n>N时,不等式$$|x_n-a|<\epsilon$$都成立,那么就称常数a是数列的极限,或者称数列收敛于a,记为$$\displaystyle \lim\limits_{n \to\infty} x_n=a,$$或$$x_n \to a\ (n \to\infty).$$ 形式化描述 $$\lim\limits_{n \to\infty} x_n=a := \forall\epsilon>0, \exists N\in\mathbb{N_+}, \forall n>N, |x_n-a|<\epsilon$$ 用极限定义证明数列的极限 主要方法是通过对于任意给定的正数,指出定义中所说的正整数N确实存在,或者找出一个符合定义要求的N. 但有时N不能直接解出,需要利用一些技巧将不等式放缩. 具体方法见相关课本. 相关注意点 由于的任意给定性,定义中的换为、、、等,皆不影响定义的表达。 改变或增减数列的有限项,并不影响数列的收敛性。 其他相关定义 数列的有界性 对于数列,如果存在正数M,使得对于一切都满足不等式$$|x_n|\leqslant M,$$那么称数列是有界的;如果这样的正数M不存在,就说数列是无界的. 子数列 设在数列中,第一次抽取,第二次在后抽取,第三次在后抽取,……,这样无休止地抽取下去,得到一个数列$$x_{n_1}, x_{n_2}, …, x_{n_k},…,$$这个数列就是数列的一个子数列. 显然,. 收敛数列的性质 定理1(极限的唯一性):如果数列收敛,那么它的极限唯一. 定理2(收敛数列的有界性):如果数列收敛,那么数列一定有界. 数列有界是数列收敛的必要非充分条件. 定理3(收敛数列的保号性):如果,且a>0(或a<0),那么存在正整数N,当n>N时,都有(或). 推论:如果数列从某项起有(或),且,那么(或). 定理4(收敛数列与其子数列间的关系):如果数列收敛于a,那么它的任一子数列也收敛,且极限也是a. 一个发散的数列也可能有收敛的子数列. 利用定理4证明数列发散 可以根据定理4衍生出两种证明数列发散的方法: 找两个极限不相等的子数列; 找一个发散的子数列. […]

等差数列与等比数列

总结一下等差与等比数列的知识点。 数列的定义 按照某一法则,对每个,对应着一个确定的实数,这些实数按照下标从小到大排列得到的一个序列$$a_1, a_2, a_3, …, a_n, …$$就叫做数列,简记为数列。数列中的每一个数叫做数列的项,第项叫做数列的一般项(或通项)。[1] 等差数列 定义 如果一个数列从第2项起,每一项与它前面一项的差都等于同一个常数,则称这个数列为等差数列,常数称为公差。 通项公式 $$a_n=a_1+(n-1)d\quad (n\in\mathbb{N}_{+})$$ 推广 $$a_n=a_m+(n-m)d\quad (n,m\in\mathbb{N}_{+})$$ 等差中项 若成等差数列,则叫做与的等差中项,且。 前项和公式 $$\begin{align}S_n &=\frac{n(a_1+a_n)}{2} \\ &=na_1+\frac{1}{2}n(n-1)d\end{align}$$ 其它性质 在等差数列中,若,则,此结论在多个项与多个项之间也成立,但等号两边的项数必须相同。 等比数列 定义 如果数列从第2项起,每一项与它前面一项的比都等于同一个不为零的常数,即$$\frac{a_n+1}{a_n}=q\quad (n\in\mathbb{N}_{+})$$则称数列为等比数列,常数叫做公比。 通项公式 $$a_n=a_{1}q^{n-1}\quad (n\in\mathbb{N}_{+})$$ 推广 $$a_n=a_{m}q^{n-m}\quad (n, m\in\mathbb{N}_{+})$$ 等比中项 若成等比数列,则叫做与的等比中项,且。 前项和公式 其它性质 在等比数列中,如果,则. References 同济大学数学系 编. 《高等数学(第七版)》上册. 高等教育出版社. ISBN 978-7-04-039663-8